高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0},\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\text{Δx}}$ （1）

或者：$f'(x_{0}) = \lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$ （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_{0}$处的左、右导数分别定义为：

左导数：${f'}{-}(x{0}) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^{-}},\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\text{Δx}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}},\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}},(x = x_{0} + \Delta x)$

右导数：${f'}{+}(x{0}) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^{+}},\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\text{Δx}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}},\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数$f(x)$在$x_{0}$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_{0}$处可导。

**Th2:**若函数在点$x_{0}$处可导，则$y = f(x)$在点$x_{0}$处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导。

Th3:$f'(x_{0})$存在$\Leftrightarrow {f'}{-}(x{0}) = {f'}{+}(x{0})$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y - y_{0} = f'(x_{0})(x - x_{0})$

法线方程：$y - y_{0} = - \frac{1}{f'(x_{0})}(x - x_{0}),f'(x_{0}) \neq 0$

5.四则运算法则

设函数$u = u(x)，v = v(x)$在点$x$可导，则：

(1) $\left( u \pm v \right)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$ $\text{\ \ \ \ }$

(2) $(\text{uv})' = \text{uv}' + \text{vu}'$ $d(\text{uv}) = \text{udv} + \text{vdu}$

(3) $(\frac{u}{v})' = \frac{\text{vu}' - \text{uv}'}{v^{2}}(v \neq 0)$ $d(\frac{u}{v}) = \frac{\text{vdu} - \text{udv}}{v^{2}}$

6.基本导数与微分表

(1) $y = c$（常数） 则： $y^{'} = 0$ $\text{dy} = 0$

(2) $y = x^{\alpha}$($\alpha$为实数) 则： $y' = \alpha x^{\alpha - 1}$ $\text{dy} = \alpha x^{\alpha - 1}\text{dx}$

(3) $y = a^{x}$ 则： $y' = a^{x}\ln a$ $\text{dy} = a^{x}\ln\text{adx}$ 特例: $(e^{x})' = e^{x}$ $d(e^{x}) = e^{x}\text{dx}$

(4) $y = \log_{a}x$ 则：

$y' = \frac{1}{x\ln a}$ ，$\text{dy} = \frac{1}{x\ln a}\text{dx}$ 特例:$y = lnx$ $(lnx)' = \frac{1}{x}$ $d(lnx) = \frac{1}{x}\text{dx}$

(5) $y = sinx$ 则：$y' = cosx$ $d(sinx) = cos\text{xdx}$

(6) $y = cosx$ 则：$y' = - sinx$ $d(cosx) = - sin\text{xdx}$

(7) $y = tanx$ 则： $y^{'} = \frac{1}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x$ $d(tanx) = \sec^{2}\text{xdx}$

(8) $y = cotx$ 则：$y' = - \frac{1}{\sin^{2}x} = - \csc^{2}x$ $d(cotx) = - \csc^{2}\text{xdx}$

(9) $y = secx$ 则：$y' = secx\tan x$ $d(secx) = secx\tan\text{xdx}$

(10) $y = cscx$ 则：$y' = - cscx\cot x$ $d(cscx) = - cscx\cot\text{xdx}$

(11) $y = arcsinx$ 则：$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ $d(arcsinx) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\text{dx}$

(12) $y = arccosx$ 则：$y' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ $d(arccosx) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\text{dx}$

(13) $y = arctanx$ 则：$y' = \frac{1}{1 + x^{2}}$ $d(arctanx) = \frac{1}{1 + x^{2}}\text{dx}$

(14) $y = arccotx$ 则：$y' = - \frac{1}{1 + x^{2}}$ $d(arccotx) = - \frac{1}{1 + x^{2}}\text{dx}$

(15) $y = \text{shx}$ 则：$y' = \text{chx}$ $d(\text{shx}) = \text{chxdx}$

(16) $y = \text{chx}$ 则：$y' = \text{shx}$ $d(\text{chx}) = \text{shxdx}$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设$y = f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且$f'(x) \neq 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \frac{1}{\frac{\text{dx}}{\text{dy}}}$

(2) 复合函数的运算法则:若$\mu = \varphi(x)$在点$x$可导,而$y = f(\mu)$在对应点$\mu$($\mu = \varphi(x)$)可导,则复合函数$y = f(\varphi(x))$在点$x$可导,且$y' = f'(\mu) \cdot \varphi'(x)$

(3) 隐函数导数$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$的求法一般有三种方法：

1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，$y^{2}$，$\text{lny}$，$e^{y}$等均是$x$的复合函数. 对$x$求导应按复合函数连锁法则做。

2)公式法.由$F(x,y) = 0$知 {% raw %}$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = - \frac{{F'}{x}(x,y)}{{F'}{y}(x,y)}${% endraw %},其中，${F'}{x}(x,y)$， ${F'}{y}(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数。

3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）$(a^{x}),^{(n)} = a^{x}\ln^{n}a\quad(a > 0)\quad\quad(e^{x}),^{(n)} = e,^{x}$

（2）$(sin\text{kx}),^{(n)} = k^{n}sin(\text{kx} + n \cdot \frac{\pi}{2})$

（3）$(cos\text{kx}),^{(n)} = k^{n}cos(\text{kx} + n \cdot \frac{\pi}{2})$

（4）$(x^{m}),^{(n)} = m(m - 1)\cdots(m - n + 1)x^{m - n}$

（5）$(lnx),^{(n)} = {( - 1)}^{(n - 1)}\frac{(n - 1)!}{x^{n}}$

（6）莱布尼兹公式：若$u(x),,v(x)$均$n$阶可导，则： ${(\text{uv})}^{(n)} = \sum_{i = 0}^{n}{c_{n}^{i}u^{(i)}v^{(n - i)}}$，其中$u^{(0)} = u$，$v^{(0)} = v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数$f(x)$满足条件：

(1)函数$f(x)$在$x_{0}$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 $f(x) \leq f(x_{0})$或$f(x) \geq f(x_{0})$,

(2) $f(x)$在$x_{0}$处可导,则有 $f'(x_{0}) = 0$

Th2:(罗尔定理)

设函数$f(x)$满足条件：

(1)在闭区间$\lbrack a,b\rbrack$上连续； (2)在$(a,b)$内可导；(3)$f\left( a \right) = f\left( b \right)$

则在$(a,b)$内$\exists$一个$\xi$，使 $f'(\xi) = 0$

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数$f(x)$满足条件：

(1)在$\lbrack a,b\rbrack$上连续；(2)在$(a,b)$内可导；

则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi)$

Th4: (柯西中值定理)

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：

(1) 在$\lbrack a,b\rbrack$上连续；(2) 在$(a,b)$内可导且$f'(x)$，$g'(x)$均存在，且$g'(x) \neq 0$

则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使 $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

10.洛必达法则

法则Ⅰ($\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{0}}$型不定式极限)

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\lim_{x \rightarrow x_{0}}, f\left( x \right) = 0,\lim_{x \rightarrow x_{0}}, g\left( x \right) = 0$; $f\left( x \right),g\left( x \right)$在$x_{0}$的邻域内可导 (在$x_{0}$处可除外)且$g'\left( x \right) \neq 0$;

$\lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f'\left( x \right)}{g'\left( x \right)}$存在(或$\infty$)。

则： $\lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f'\left( x \right)}{g'\left( x \right)}$

法则$\mathbf{I’}$ ($\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{0}}$型不定式极限)

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\lim_{x \rightarrow \infty}, f\left( x \right) = 0,\lim_{x \rightarrow \infty}, g\left( x \right) = 0$;存在一个$X > 0$,当$\left| x \right| > X$时,$f\left( x \right),g\left( x \right)$可导,且$g'\left( x \right) \neq 0$;$\lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f'\left( x \right)}{g'\left( x \right)}$存在(或$\infty$)。

则： $\lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f'\left( x \right)}{g'\left( x \right)}.$

法则Ⅱ($\frac{\mathbf{\infty}}{\mathbf{\infty}}$型不定式极限)

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\lim_{x \rightarrow x_{0}}, f\left( x \right) = \infty,\lim_{x \rightarrow x_{0}}, g\left( x \right) = \infty$; $f\left( x \right),g\left( x \right)$在$x_{0}$ 的邻域内可 导(在$x_{0}$处可除外)且$g'\left( x \right) \neq 0$;$\lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f'\left( x \right)}{g'\left( x \right)}$存在(或$\infty$)。

则： $\lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow x_{0}},\frac{f'\left( x \right)}{g'\left( x \right)}.$

同理法则$II’$($\frac{\infty}{\infty}$型不定式极限)仿法则$I’$可写出

11.泰勒公式

设函数$f(x)$在点$x_{0}$处的某邻域内具有$n + 1$阶导数，则对该邻域内异于$x_{0}$的任意点$x$，在$x_{0}$与$x$之间至少存在一个$\xi$，使得：

$f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x - x_{0}) + \frac{1}{2!}f''(x_{0}){(x - x_{0})}^{2} + \cdots$ $+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}{(x - x_{0})}^{n} + R_{n}(x)$

其中 $R_{n}(x) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}{(x - x_{0})}^{n + 1}$称为$f(x)$在点$x_{0}$处的$n$阶泰勒余项。

令$x_{0} = 0$，则$n$阶泰勒公式：

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2!}f''(0)x^{2} + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} + R_{n}(x)$......

(1) 其中 $R_{n}(x) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}x^{n + 1}$，$\xi$在0与$x$之间。(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在$x_{0} = 0$处的泰勒公式 ：

1) $e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{1}{n!}x^{n} + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}e^{\xi}$
或 $= 1 + x + \frac{1}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{1}{n!}x^{n} + o(x^{n})$

2) $\sin x = x - \frac{1}{3!}x^{3} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!}\sin\frac{\text{nπ}}{2} + \frac{x^{n + 1}}{\left( n + 1 \right)!}\sin\left( \xi + \frac{n + 1}{2}\pi \right)$

或 $= x - \frac{1}{3!}x^{3} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!}\sin\frac{\text{nπ}}{2} + o\left( x^{n} \right)$

3) $\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!}\cos\frac{\text{nπ}}{2} + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}cos(\xi + \frac{n + 1}{2}\pi)$

或 $= 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!}\cos\frac{\text{nπ}}{2} + o(x^{n})$

4) {% raw %}$ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} - \cdots + {( - 1)}^{n - 1}\frac{x^{n}}{n} + \frac{{( - 1)}^{n}x^{n + 1}}{(n + 1){(1 + \xi)}^{n + 1}}${% endraw %}

或 $= x - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} - \cdots + {( - 1)}^{n - 1}\frac{x^{n}}{n} + o(x^{n})$

5) ${(1 + x)}^{m} = 1 + \text{mx} + \frac{m(m - 1)}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{m(m - 1)\cdots(m - n + 1)}{n!}x^{n}$ $+ \frac{m(m - 1)\cdots(m - n + 1)}{(n + 1)!}x^{n + 1}{(1 + \xi)}^{m - n - 1}$

或 ${(1 + x)}^{m} = 1 + \text{mx} + \frac{m(m - 1)}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{m(m - 1)\cdots(m - n + 1)}{n!}x^{n} + o(x^{n})$

12.函数单调性的判断

Th1: 设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x \in (a,b)$，都有$f,'(x) > 0$（或$f,'(x) < 0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）。

Th2: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在$x_{0}$处可导，且在$x_{0}$处取极值，则$f,'(x_{0}) = 0$.

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在$x_{0}$的某一邻域内可微，且$f,'(x_{0}) = 0$（或$f(x)$在$x_{0}$处连续，但$f,'(x_{0})$不存在.）。

(1)若当$x$经过$x_{0}$时，$f,'(x)$由"+"变"-"，则$f(x_{0})$为极大值；

(2)若当$x$经过$x_{0}$时，$f,'(x)$由"-"变"+"，则$f(x_{0})$为极小值；

(3)若$f,'(x)$经过$x = x_{0}$的两侧不变号，则$f(x_{0})$不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点$x_{0}$处有$f''(x) \neq 0$，且$f,'(x_{0}) = 0$，则：

当$f','(x_{0}) < 0$时，$f(x_{0})$为极大值； 当$f','(x_{0}) > 0$时，$f(x_{0})$为极小值. 注：如果$f','(x_{0})0$，此方法失效。

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线

若$\lim_{x \rightarrow + \infty}, f(x) = b$，或$\lim_{x \rightarrow - \infty}, f(x) = b$，则$y = b$ 称为函数$y = f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线

若$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}, f(x) = \infty$，或$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}, f(x) = \infty$，则$x = x_{0}$ 称为$y = f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若$a = \lim_{x \rightarrow \infty},\frac{f(x)}{x},\quad b = \lim_{x \rightarrow \infty},\lbrack f(x) - \text{ax}\rbrack$，则 $y = \text{ax} + b$称为$y = f(x)$的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上$f''(x) < 0$（或$f''(x) > 0$）， 则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在$x_{0}$处$f''(x) = 0$，（或$f''(x)$不存在），当$x$变动经过$x_{0}$时，$f''(x)$变号，则$(x_{0},f(x_{0}))$为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设$f(x)$在$x_{0}$点的某邻域内有三阶导数，且$f''(x) = 0$，$f'''(x) \neq 0$，则$(x_{0},f(x_{0}))$为拐点。

15.弧微分

$\text{dS} = \sqrt{1 + y'^{2}}\text{dx}$

16.曲率

曲线$y = f(x)$在点$(x,y)$处的曲率{% raw %}$k = \frac{\left| y'' \right|}{{(1 + y'^{2})}^{\frac{3}{2}}}.${% endraw %} 对于参数方程：

{% raw %}$\left{ $$\begin{array}{ccc}& x=\phi (t)& y=\psi (t)\end{array}$$ \right.\ ,k = \frac{\left| \varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t) \right|}{{\lbrack\varphi'^{2}(t) + \psi'^{2}(t)\rbrack}^{\frac{3}{2}}}${% endraw %}

17.曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k(k \neq 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho$有如下关系：$\rho = \frac{1}{k}$

线性代数

行列式

1.行列式按行（列）展开定理

(1) 设$A = \left( a_{\text{ij}} \right){n \times n}$，则：$a{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{\text{in}}A_{\text{jn}} = \left{ $$\begin{array}{ccc}& \left|A\right|,i=j& 0,i\ne j\end{array}$$ \right.\ $

或$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{\text{ni}}A_{\text{nj}} = \left{ $$\begin{array}{ccc}& \left|A\right|,i=j& 0,i\ne j\end{array}$$ \right.\ $

即 $AA^{} = A^{}A = \left| A \right|E,$其中：$A^{*} = $$\left(\begin{array}{ccccccccccccc}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1n}{A}_{21}& A_{22}& \dots & A_{2n}\dots & \dots & \dots & \dots A_{n1}& A_{n2}& \dots & A_{\text{nn}}\end{array}\right)$$ = (A_{\text{ji}}) = {(A_{\text{ij}})}^{T}$

$D_{n} = $$\left|\begin{array}{ccccccccccccc}1& 1& \dots & 1x_1& x_2& \dots & x_n\dots & \dots & \dots & \dots x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$$ = = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{},(x_{i} - x_{j})$

(2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left| \text{AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| \text{BA} \right|$，但$\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$不一定成立。

(3) $\left| \text{kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$,$A$为$n$阶方阵。

(4) 设$A$为$n$阶方阵，$|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$（若$A$可逆），$|A^{*}| = |A|^{n - 1}$

$n \geq 2$

(5) $\left| $$\begin{array}{ccc}& \text{Aquad O}& \text{Oquad B}\end{array}$$ \right| = \left| $$\begin{array}{ccc}& \text{Aquad C}& \text{Oquad B}\end{array}$$ \right| = \left| $$\begin{array}{ccc}& \text{Aquad O}& \text{Cquad B}\end{array}$$ \right| = \left| A||B| \right.\ $ ，$A,B$为方阵，但$\left| $$\begin{array}{ccc}& \text{Oquadquad}{A}_{m\times m}& B_{n\times n}\text{quad O}\end{array}$$ \right| = ({- 1)}^{\text{mn}}\centerdot|A||B|$ 。

(6) 范德蒙行列式$D_{n} = $$\left|\begin{array}{ccccccccccccc}1& 1& \dots & 1x_1& x_2& \dots & x_n\dots & \dots & \dots & \dots x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$$ = = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{},(x_{i} - x_{j})$

设$A$是$n$阶方阵，$\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$是$A$的$n$个特征值，则 $|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$

矩阵

矩阵：$m \times n$个数$a_{\text{ij}}$排成$m$行$n$列的表格$$$\left[\begin{array}{ccccc}& a_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}& a_{21}{a}_{22}\cdots a_{2n}& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & a_{m1}{a}_{m2}\cdots a_{\text{mn}}\end{array}\right]$$$称为矩阵，简记为$A$，或者$\left( a_{\text{ij}} \right)_{m \times n}$ 。若$m = n$，则称$A$是$n$阶矩阵或$n$阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设$A = (a_{\text{ij}}),B = (b_{\text{ij}})$是两个$m \times n$矩阵，则$m \times n$ 矩阵$C = (c_{\text{ij}}) = a_{\text{ij}} + b_{\text{ij}}$称为矩阵$A$与$B$的和，记为$A + B = C$ 。

2.矩阵的数乘

设$A = (a_{\text{ij}})$是$m \times n$矩阵，$k$是一个常数，则$m \times n$矩阵$(ka_{\text{ij}})$称为数$k$与矩阵$A$的数乘，记为$\text{kA}$。

3.矩阵的乘法

设$A = (a_{\text{ij}})$是$m \times n$矩阵，$B = (b_{\text{ij}})$是$n \times s$矩阵，那么$m \times s$矩阵$C = (c_{\text{ij}})$，其中 $c_{\text{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{\text{in}}b_{\text{nj}} = \sum_{k = 1}^{n}{a_{\text{ik}}b_{\text{kj}}}$称为$\text{AB}$的乘积，记为$C = AB$ 。

4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$、$\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}$、$\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$三者之间的关系

(1) ${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

(2) $\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( \text{AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( \text{kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},$

但 ${(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$不一定成立。

(3) $\left( A^{} \right)^{} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$，$\left( \text{AB} \right)^{} = B^{}A^{},$ $\left( \text{kA} \right)^{} = k^{n - 1}A^{*}\text{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$

但$\left( A \pm B \right)^{} = A^{} \pm B^{*}$不一定成立。

(4) ${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{} = {(AA^{})}^{- 1},{(A^{})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{}$

5.有关$\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$的结论

(1) $AA^{} = A^{}A = |A|E$

(2) $|A^{}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{} = k^{n - 1}A^{},{\text{\ \ }\left( A^{} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)$

(3) 若$A$可逆，则$A^{} = |A|A^{- 1},{(A^{})}^{*} = \frac{1}{|A|}A$

(4) 若$A$为$n$阶方阵，则：

$r(A^{*}) = \left{ $$\begin{array}{cccc}& n,r(A)=n& 1,r(A)=n-1& 0,r(A)<n-1\end{array}$$ \right.\ $

6.有关$\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}$的结论

$A$可逆$\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$\Leftrightarrow A$可以表示为初等矩阵的乘积；$\Leftrightarrow A无零特征值； \Leftrightarrow Ax = 0\ 只有零解$。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩$r(A)$=行秩=列秩；

(2) $r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$

(3) $A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$；

(4) $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),$特别若$AB = O$

则：$r(A) + r(B) \leq n$

(7) 若$A^{- 1}$存在$\Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$B^{- 1}$存在 $\Rightarrow r(AB) = r(A);$

若$r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$r(A_{m \times s}) = n \Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)$。

(8) $r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$只有零解

8.分块求逆公式

$$$\left(\begin{array}{ccc}A& OO& B\end{array}\right)$$^{- 1} = $$\left(\begin{array}{ccc}{A}^{-1}& OO& B^{-1}\end{array}\right)$$$； $$$\left(\begin{array}{ccc}A& CO& B\end{array}\right)$$^{- 1} = $$\left(\begin{array}{ccc}& A^{-1}-A^{-1}C{B}^{-1}& \text{Oquadquadquad}{B}^{-1}\end{array}\right)$$$；

$$$\left(\begin{array}{ccc}A& OC& B\end{array}\right)$$^{- 1} = $$\left(\begin{array}{ccc}& A^{-1}\text{quadquad::quad O}& -B^{-1}C{A}^{-1}{B}^{-1}\end{array}\right)$$$； $$$\left(\begin{array}{ccc}O& AB& O\end{array}\right)$$^{- 1} = $$\left(\begin{array}{ccc}O& B^{-1}{A}^{-1}& O\end{array}\right)$$$

这里$A$，$B$均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，$\beta$线性相关$\Leftrightarrow \beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) = r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2) ① $n$个$n$维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$线性无关$\Leftrightarrow \left| \left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq 0$， $n$个$n$维向量$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$线性相关 $\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$ 。

② $n + 1$个$n$维向量线性相关。

③ 若$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}$线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，$\beta$线性相关$\Leftrightarrow \beta$ 可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) = r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设$r(A_{m \times n}) = r$，则$A$的秩$r(A)$与$A$的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若$r(A_{m \times n}) = r = m$，则$A$的行向量组线性无关。

(2) 若$r(A_{m \times n}) = r < m$，则$A$的行向量组线性相关。

(3) 若$r(A_{m \times n}) = r = n$，则$A$的列向量组线性无关。

(4) 若$r(A_{m \times n}) = r < n$，则$A$的列向量组线性相关。

5.$\mathbf{n}$维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

若$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$是向量空间$V$的两组基，则基变换公式为：

$$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\left[\begin{array}{ccccc}& c_{11}{c}_{12}\cdots c_{1n}& c_{21}{c}_{22}\cdots c_{2n}& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & c_{n1}{c}_{n2}\cdots c_{\text{nn}}\end{array}\right]=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)C$$

其中$C$是可逆矩阵，称为由基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

6.坐标变换公式

若向量$\gamma$在基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的坐标分别是 $X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}$，

$Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}$ 即： $\gamma = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} + y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}$，则向量坐标变换公式为$X = CY$ 或 $Y = C^{- 1}X$ ，其中$C$是从基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

7.向量的内积

$$(\alpha ,\beta )=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n={\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha$$

8.Schmidt正交化

若$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，则可构造$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$使其两两正交，且$\beta_{i}$仅是$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}$的线性组合$(i = 1,2,\cdots,n)$，再把$\beta_{i}$单位化，记$\gamma_{i} = \frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i} \right|}$，则$\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}$是规范正交向量组。其中 $\beta_{1} = \alpha_{1}$， $\beta_{2} = \alpha_{2} - \frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$ ， $\beta_{3} = \alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ，

............

$${\beta }_s={\alpha }_s-\frac{({\alpha }_s,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_s,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2-\cdots -\frac{({\alpha }_s,{\beta }_{s-1})}{({\beta }_{s-1},{\beta }_{s-1})}{\beta }_{s-1}$$

9.正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

线性方程组

1．克莱姆法则

线性方程组$\left{ $$\begin{array}{ccccc}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1& a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{\text{nn}}{x}_n=b_n\end{array}$$ \right.\ $，如果系数行列式$D = \left| A \right| \neq 0$，则方程组有唯一解， $x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} = \frac{D_{n}}{D}$，其中$D_{j}$是把$D$中第$j$列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. $n$阶矩阵$A$可逆$\Leftrightarrow Ax = 0$只有零解。$\Leftrightarrow \forall b,Ax = b$总有唯一解，一般地，$r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设$A$为$m \times n$矩阵，若$r(A_{m \times n}) = m$，则对$Ax = b$而言必有$r(A) = r(A \vdots b) = m$，从而$Ax = b$有解。

(2) 设$x_{1},x_{2},\cdots x_{s}$为$Ax = b$的解，则$k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2} + \cdots + k_{s}x_{s}$当$k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1$时仍为$Ax = b$的解；但当$k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0$时，则为$Ax = 0$的解。特别$\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$为$Ax = b$的解；$2x_{3} - (x_{1} + x_{2})$为$Ax = 0$的解。

(3) 非齐次线性方程组$\text{Ax} = b$无解$\Leftrightarrow r(A) + 1 = r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$不能由$A$的列向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组$\text{Ax} = 0$恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此$\text{Ax} = 0$的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是$n - r(A)$，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$是$\text{Ax} = 0$的基础解系，即：

1) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$是$\text{Ax} = 0$的解；

2) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$线性无关；

3) $\text{Ax} = 0$的任一解都可以由$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$线性表出. $k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}$是$\text{Ax} = 0$的通解，其中$k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设$\lambda$是$A$的一个特征值，则 $\text{kA},\text{aA} + \text{bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$有一个特征值分别为 $\text{kλ},\text{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},$且对应特征向量相同（$A^{T}$ 例外）。

(2) 若$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$为$A$的$n$个特征值，则$\sum_{i = 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{\text{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i} = |A|$ ,从而$|A| \neq 0 \Leftrightarrow A$没有特征值。

(3) 设$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$为$A$的$s$个特征值，对应特征向量为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，

若: $\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}$ ,

则: $A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} + k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若$A \sim B$，则

1) $A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{} \sim B^{}$

2) $|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{\text{ii}} = \sum_{i = 1}^{n}b_{\text{ii}},r(A) = r(B)$

3) $|\lambda E - A| = |\lambda E - B|$，对$\forall\lambda$成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1) 设$A$为$n$阶方阵，则$A$可对角化$\Leftrightarrow$对每个$k_{i}$重根特征值$\lambda_{i}$，有$n - r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

(2) 设$A$可对角化，则由$P^{- 1}\text{AP} = \Lambda,$有$A = \text{PΛ}P^{- 1}$，从而$A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要结论

1) 若$A \sim B,C \sim D$，则$$$\left[\begin{array}{ccc}& AO& OC\end{array}\right]$$ \sim $$\left[\begin{array}{ccc}& BO& OD\end{array}\right]$$$.

2) 若$A \sim B$，则$f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B) \right|$，其中$f(A)$为关于$n$阶方阵$A$的多项式。

3) 若$A$为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩($A$)

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵：设$A,B$为两个$n$阶方阵，如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$B = P^{- 1}\text{AP}$成立，则称矩阵$A$与$B$相似，记为$A \sim B$。

(2)相似矩阵的性质：如果$A \sim B$则有：

1) $A^{T} \sim B^{T}$

2) $A^{- 1} \sim B^{- 1}$ （若$A$，$B$均可逆）

3) $A^{k} \sim B^{k}$ （$k$为正整数）

4) $\left| \text{λE} - A \right| = \left| \text{λE} - B \right|$，从而$A,B$ 有相同的特征值

5) $\left| A \right| = \left| B \right|$，从而$A,B$同时可逆或者不可逆

6) 秩$\left( A \right) =$秩$\left( B \right),\left| \text{λE} - A \right| = \left| \text{λE} - B \right|$，$A,B$不一定相似

二次型

1.$\mathbf{n}$个变量$\mathbf{x}{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}$的二次齐次函数

$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j = 1}^{n}{a_{\text{ij}}x_{i}y_{j}}}$，其中$a_{\text{ij}} = a_{\text{ji}}(i,j = 1,2,\cdots,n)$，称为$n$元二次型，简称二次型. 若令$x = \ $$\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_1⋮x_n\end{array}\right]$$,A = $$\left[\begin{array}{ccccc}& a_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}& a_{21}{a}_{22}\cdots a_{2n}& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & a_{n1}{a}_{n2}\cdots a_{\text{nn}}\end{array}\right]$$$,这二次型$f$可改写成矩阵向量形式$f = x^{T}\text{Ax}$。其中$A$称为二次型矩阵，因为$a_{\text{ij}} = a_{\text{ji}}(i,j = 1,2,\cdots,n)$，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵$A$的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型$f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) = x^{T}\text{Ax}$经过合同变换$x = \text{Cy}$化为$f = x^{T}\text{Ax} = y^{T}C^{T}\text{AC}$

$y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}$称为 $f(r \leq n)$的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由$r(A的秩)$唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型$f$都可经过合同变换化为规范形$f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots + z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots - z_{r}^{2}$，其中$r$为$A$的秩，$p$为正惯性指数，$r - p$为负惯性指数，且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

设$A$正定$\Rightarrow \text{kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定；$|A| > 0$,$A$可逆；$a_{\text{ii}} > 0$，且$|A_{\text{ii}}| > 0$

$A$，$B$正定$\Rightarrow A + B$正定，但$\text{AB}$，$\text{BA}$不一定正定

$A$正定$\Leftrightarrow f(x) = x^{T}\text{Ax} > 0,\forall x \neq 0$

$\Leftrightarrow A$的各阶顺序主子式全大于零

$\Leftrightarrow A$的所有特征值大于零

$\Leftrightarrow A$的正惯性指数为$n$

$\Leftrightarrow$存在可逆阵$P$使$A = P^{T}P$

$\Leftrightarrow$存在正交矩阵$Q$，使$Q^{T}\text{AQ} = Q^{- 1}\text{AQ} = $$\left(\begin{array}{ccccccc}{\lambda }_1& & \begin{array}{ccc}& & \end{array}& \ddots & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$,$

其中$\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.$正定$\Rightarrow \text{kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定； $|A| > 0,A$可逆；$a_{\text{ii}} > 0$，且$|A_{\text{ii}}| > 0$ 。

概率论和数理统计

随机事件和概率

1.事件的关系与运算

(1) 子事件：$A \subset B$，若$A$发生，则$B$发生。

(2) 相等事件：$A = B$，即$A \subset B$，且$B \subset A$ 。

(3) 和事件：$A\bigcup B$（或$A + B$），$A$与$B$中至少有一个发生。

(4) 差事件：$A - B$，$A$发生但$B$不发生。

(5) 积事件：$A\bigcap B$（或$\text{AB}$），$A$与$B$同时发生。

(6) 互斥事件（互不相容）：$A\bigcap B$=$\varnothing$。

(7) 互逆事件（对立事件）： $A\bigcap B = \varnothing,A\bigcup B = \Omega,A = \overline{B},B = \overline{A}$ 。

2.运算律

(1) 交换律：$A\bigcup B = B\bigcup A,A\bigcap B = B\bigcap A$

(2) 结合律：$(A\bigcup B)\bigcup C = A\bigcup(B\bigcup C)$； $(A\bigcap B)\bigcap C = A\bigcap(B\bigcap C)$

(3) 分配律：$(A\bigcup B)\bigcap C = (A\bigcap C)\bigcup(B\bigcap C)$

3.德$\mathbf{.}$摩根律

$\overline{A\bigcup B} = \overline{A}\bigcap\overline{B}$ $\overline{A\bigcap B} = \overline{A}\bigcup\overline{B}$

4.完全事件组

$A_{1}A_{2}\cdots A_{n}$两两互斥，且和事件为必然事件，即$A_{i}\bigcap A_{j} = \varnothing,i \neq j,\underset{i = 1}{\bigcup^{n}}, = \Omega$

5.概率的基本概念

(1) 概率：事件发生的可能性大小的度量，其严格定义如下：

概率$P(g)$为定义在事件集合上的满足下面3个条件的函数：

1)对任何事件$A$，$P(A) \geq 0$

2)对必然事件$\Omega$，$P(\Omega) = 1$

3)对$A_{1}A_{2}\cdots A_{n},\cdots$ ,若$A_{i}A_{j} = \varnothing(i \neq j)$，则：$P(\underset{i = 1}{\bigcup^{\infty}}, A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty}{P(A).}$

(2) 概率的基本性质

1) $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$;

2) $P(A - B) = P(A) - P(AB);$

3) $P(A\bigcup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ 特别，当$B \subset A$时，$P(A - B) = P(A) - P(B)$且$P(B) \leq P(A)$； $P(A\bigcup B\bigcup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$ 4) 若$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$两两互斥，则$P(\underset{i = 1}{\bigcup^{n}}, A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n}{(P(A_{i})}$

(3) 古典型概率: 实验的所有结果只有有限个， 且每个结果发生的可能性相同，其概率计算公式： $P(A) = \frac{事件A发生的基本事件数}{基本事件总数}$

(4) 几何型概率: 样本空间$\Omega$为欧氏空间中的一个区域， 且每个样本点的出现具有等可能性，其概率计算公式：$P(A) = \frac{A的度量(长度、面积、体积)}{\Omega 的度量(长度、面积、体积)}$

6.概率的基本公式

(1) 条件概率: $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$ ,表示$A$发生的条件下，$B$发生的概率

(2) 全概率公式： $P(A) = \sum_{i = 1}^{n}{P(A|B_{i})P(B_{i}),B_{i}B_{j}} = \varnothing,i \neq j,\underset{i = 1}{\bigcup^{n}}, B_{i} = \Omega.$

(3) Bayes公式：

$P(B_{j}|A) = \frac{P(A|B_{j})P(B_{j})}{\sum_{i = 1}^{n}{P(A|B_{i})P(B_{i})}},j = 1,2,\cdots,n$

注：上述公式中事件$B_{i}$的个数可为可列个.

(4)乘法公式： $P(A_{1}A_{2}) = P(A_{1})P(A_{2}|A_{1}) = P(A_{2})P(A_{1}|A_{2})$ $P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}) = P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})\cdots P(A_{n}|A_{1}A_{2}\cdots A_{n - 1})$

7.事件的独立性

(1) A与B相互独立$\Leftrightarrow P\left( \text{AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)$

(2) A，B，C两两独立 $\Leftrightarrow P(\text{AB}) = P(A)P(B);P(\text{BC}) = P(B)P(C);$ $P(\text{AC}) = P(A)P(C);$

(3) A，B，C相互独立 $\Leftrightarrow P(\text{AB}) = P(A)P(B);$ $P(\text{BC}) = P(B)P(C);$ $P(\text{AC}) = P(A)P(C);$ $P(\text{ABC}) = P(A)P(B)P(C).$

8.独立重复试验

将某试验独立重复n次，若每次实验中事件A发生的概率为p，则n次试验中A发生k次的概率为： $P\left( X = k \right) = C_{n}^{k}p^{k}\left( 1 - p \right)^{n - k}\ $。

9.重要公式与结论

(1) $P\left( \overline{A} \right) = 1 - P\left( A \right)$

(2) $P(A\bigcup B) = P(A) + P(B) - P(\text{AB})$

$P(A\bigcup B\bigcup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(\text{AB}) - P(\text{BC}) - P(\text{AC}) + P(\text{ABC})$

(3) $P\left( A - B \right) = P\left( A \right) - P\left( \text{AB} \right)$

(4) $P(A\overline{B}) = P(A) - P(\text{AB}),P(A) = P(\text{AB}) + P(A\overline{B}),$ $P(A\bigcup B) = P(A) + P(\overline{A}B) = P(\text{AB}) + P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B)$

(5) 条件概率$P(\centerdot|B)$满足概率的所有性质，

例如：. $P({\overline{A}}{1}|B) = 1 - P(A{1}|B)$ $P(A_{1}\bigcup A_{2}|B) = P(A_{1}|B) + P(A_{2}|B) - P(A_{1}A_{2}|B)$ $P(A_{1}A_{2}|B) = P(A_{1}|B)P(A_{2}|A_{1}B)$

(6) 若$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$相互独立，则$P(\bigcap_{i = 1}^{n}A_{i}) = \prod_{i = 1}^{n}{P(A_{i})},$ $P(\bigcup_{i = 1}^{n}A_{i}) = \prod_{i = 1}^{n}{(1 - P(A_{i}))}$

(7) 互斥、互逆与独立性之间的关系： A与B互逆$\Rightarrow$A与B互斥，但反之不成立，A与B互 斥（或互逆）且均非零概率事件$\Rightarrow$A与B不独立.

(8) 若$A_{1},A_{2},\cdots,A_{m},B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$相互独立，则$f(A_{1},A_{2},\cdots,A_{m})$与 $g(B_{1},B_{2},\cdots,B_{n})$也相互独立，其中$f(\centerdot),g(\centerdot)$分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.

随机变量及其概率分布

1.随机变量及概率分布

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2.分布函数的概念与性质

定义： $F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty$

性质：(1)$0 \leq F(x) \leq 1$ (2)$F(x)$单调不减

(3)右连续$F(x + 0) = F(x)$ (4)$F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1$

3.离散型随机变量的概率分布

$P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i = 1}^{\infty}p_{i} = 1$

4.连续型随机变量的概率密度

概率密度$f(x);$非负可积，且:(1)$f(x) \geq 0,$ (2)$\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x)\text{dx} = 1}$ (3)$x$为$f(x)$的连续点，则:

$f(x) = F'(x)$分布函数$F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t)\text{dt}}$

5.常见分布

(1) 0-1分布:$P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1$

(2) 二项分布:$B(n,p)$： $P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k = 0,1,\cdots,n$

(3) Poisson分布:$p(\lambda)$： $P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{- \lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots$

(4) 均匀分布$U(a,b)$：$f(x) = \left{ $$\begin{array}{ccc}& \frac{1}{b-a},a<x<b& 0,\end{array}$$ \right.\ $

(5) 正态分布:{% raw %}$N(\mu,\sigma^{2}):$ $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0, - \infty < x < + \infty${% endraw %}

(6)指数分布:$E(\lambda):f(x) = \left{ $$\begin{array}{ccc}& \lambda e^{-\text{λx}},x>0,\lambda >0& 0,\end{array}$$ \right.\ $

(7)几何分布:$G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.$

(8)超几何分布: $H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}},k = 0,1,\cdots,min(n,M)$

6.随机变量函数的概率分布

(1)离散型：$P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)$

则: $P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}$

(2)连续型：$X\widetilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)$

则:$F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}$， $f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)$

7.重要公式与结论

(1) $X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) = \frac{1}{2},$ $\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)$

(2) $X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a - \mu}{\sigma})$

(3) $X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)$

(4) $X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)$

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

多维随机变量及其分布

1.二维随机变量及其联合分布

由两个随机变量构成的随机向量$(X,Y)$， 联合分布为$F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)$

2.二维离散型随机变量的分布

(1) 联合概率分布律 $P{ X = x_{i},Y = y_{j}} = p_{\text{ij}};i,j = 1,2,\cdots$

(2) 边缘分布律 $p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{\text{ij}},i = 1,2,\cdots$ $p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{\text{ij}},j = 1,2,\cdots$

(3) 条件分布律 $P{ X = x_{i}|Y = y_{j}} = \frac{p_{\text{ij}}}{p_{\cdot j}}$ $P{ Y = y_{j}|X = x_{i}} = \frac{p_{\text{ij}}}{p_{i \cdot}}$

3. 二维连续性随机变量的密度

(1) 联合概率密度$f(x,y):$

1) $f(x,y) \geq 0$ 2) $\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1$

(2) 分布函数：$F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}$

(3) 边缘概率密度： $f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right)\text{dy}}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

(4) 条件概率密度：$f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)}$ $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}$

4.常见二维随机变量的联合分布

(1) 二维均匀分布：$(x,y) \sim U(D)$ ,$f(x,y) = \left{ $$\begin{array}{ccc}& \frac{1}{S(D)},(x,y)\in D& 0,\mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}$$ \right.\ $

(2) 二维正态分布：$(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$

{% raw %}$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{{(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{{(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right}${% endraw %}

5.随机变量的独立性和相关性

$X$和$Y$的相互独立:$\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)$:

$\Leftrightarrow p_{\text{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$（离散型） $\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)$（连续型）

$X$和$Y$的相关性：

相关系数$\rho_{\text{XY}} = 0$时，称$X$和$Y$不相关， 否则称$X$和$Y$相关

6.两个随机变量简单函数的概率分布

离散型： $P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{\text{ij}},Z = g\left( X,Y \right)$ 则：

$P(Z = z_{k}) = P\left{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}$

连续型： $\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)$ 则：

$F_{z}\left( z \right) = P\left{ g\left( X,Y \right) \leq z \right} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}$，$f_{z}(z) = F'_{z}(z)$

7.重要公式与结论

(1) 边缘密度公式： $f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

(2) $P\left{ \left( X,Y \right) \in D \right} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right)\text{dxdy}}$

(3) 若$(X,Y)$服从二维正态分布$N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$ 则有：

1) $X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).$

2) $X$与$Y$相互独立$\Leftrightarrow \rho = 0$，即$X$与$Y$不相关。

3) $C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)$

4) $\text{\ X}$关于Y=y的条件分布为： $N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))$

5) $Y$关于$X = x$的条件分布为： $N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))$

(4) 若$X$与$Y$独立，且分别服从$N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),$ 则：

$\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),$ $C_{1}X + C_{2}Y\widetilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).$

(5) 若$X$与$Y$相互独立，$f\left( x \right)$和$g\left( x \right)$为连续函数， 则$f\left( X \right)$和$g(Y)$也相互独立。

随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型：$P\left{ X = x_{i} \right} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}$；

连续型： $X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}$

性质：

(1) $E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)$

(2) $E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)$

(3) 若X和Y独立，则$E(XY) = E(X)E(Y)$ (4)$\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})$

2.方差：$D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}$

3.标准差：$\sqrt{D(X)}$，

4.离散型：$D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}$

5.连续型：$D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx$

性质：

(1)$\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0$

(2)$\ X$与$Y$相互独立，则$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$

(3)$\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)$

(4) 一般有 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$

(5)$\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)$

(6)$\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left{ X = C \right} = 1$

6.随机变量函数的数学期望

(1) 对于函数$Y = g(x)$

$X$为离散型：$P{ X = x_{i}} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}$；

$X$为连续型：$X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}$

(2) $Z = g(X,Y)$;$\left( X,Y \right)\sim P{ X = x_{i},Y = y_{j}} = p_{\text{ij}}$; $E(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{\text{ij}}}}$ $\left( X,Y \right)\sim f(x,y)$;$E(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}$

7.协方差 $Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrack$

8.相关系数 $\rho_{\text{XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$,$k$阶原点矩 $E(X^{k})$; $k$阶中心矩 $E\left{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right}$

性质：

(1)$\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$

(2)$\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)$

(3)$\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)$

(4)$\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1$

(5)$\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中$a > 0$

$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中$a < 0$

9.重要公式与结论

(1)$\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)$

(2)$\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

(3) $\left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1,$且 $\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$，其中$a > 0$

$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$，其中$a < 0$

(4) 下面5个条件互为充要条件：

$\rho(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)$ $\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ $\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)$

注：$X$与$Y$独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

数理统计的基本概念

1.基本概念

总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用$X$表示。

个体：组成总体的每个基本元素。

简单随机样本：来自总体$X$的$n$个相互独立且与总体同分布的随机变量$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$，称为容量为$n$的简单随机样本，简称样本。

统计量：设$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$是来自总体$X$的一个样本，$g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$）是样本的连续函数，且$g(\centerdot)$中不含任何未知参数，则称$g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$为统计量

样本均值：$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$

样本方差：$S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}$

样本矩：样本$k$阶原点矩：$A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots$

样本$k$阶中心矩：$B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots$

2.分布

$\chi^{2}$分布：$\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)$，其中$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$相互独立，且同服从$N(0,1)$

$t$分布：$T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$ ，其中$X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),$且$X$，$Y$ 相互独立。

F分布：$F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$，其中$X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),$且$X$，$Y$相互独立。

分位数：若$P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,$则称$x_{\alpha}$为$X$的$\alpha$分位数

3.正态总体的常用样本分布

(1) 设$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$为来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，

{% raw %}$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},}${% endraw %}则：

1) $\overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right)\text{\ \ }$或者$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$

2) {% raw %}$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}${% endraw %}

3) {% raw %}$\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}${% endraw %}

4)$\text{\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$

4.重要公式与结论

(1) 对于$\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)$，有$E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;$

(2) 对于$T\sim t(n)$，有$E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)$；

(3) 对于$F\widetilde{\ }F(m,n)$，有 $\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};$

(4) 对于任意总体$X$，有 $E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}$